3. Стохастический анализ условий среды. Построение интегральных кривых распределения для водного и теплового режимов почв.

   Рост и развитие растений зависят от различных условий внешней среды. Одними из наиболее существенных факторов влияющих на большие колебания урожайности от года к году можно считать метеорологическиеусловия.

 Таким образом, изучение закономерностей формирования метеорологических условий является необходимым этапом в перспективном планировании сельскохозяйственного производства.
    Развитие метеорологии привело к оформлению в отдельные самостоятельные дисциплины различных ее разделов, таких как синоптическая метеорология, климатология, агрометеорология.

   
Климат можно определить как многолетний режим погоды.

В связи с этим описание и изучение климата опирается на многолетние наблюдения за метеорологическими величинами.

    На формирование климата влияют различные физические механизмы - климатообразующие факторы. Эти факторы можно разделить на две группы:

Внешние климатообразующие факторы.

Внутренние климатообразующие факторы (состав атмосферы, как постоянные компоненты, так и переменные термодинамические примеси, масса атмосферы, состав и масса океана, особенности распределения суши и океана, рельеф поверхности суши, структура деятельного слоя суши и океана).

    В свою очередь внешние факторы делятся на:

- астрономические факторы (светимость Солнца, положение орбиты Земли в Солнечной системе, характеристики орбитального движения Земли). От этих факторов зависит распределение солнечной энергии, поступающей на верхнюю границу атмосферы Земли, гравитационное воздействие Солнца и других планет Солнечной системы, а также Луны. Воздействие Луны, создает приливы и отливы, оказывает влияние на характеристики орбитального движения и вращения Земли.

- геофизические факторы (размер и масса Земли, собственные гравитационное и магнитное поля, внутреннее тепло). Воздействие всех факторов на климат взаимосвязано. 

    Практически единственным источником энергии на Земле, обуславливающим все остальные метеорологические процессы, является энергия Солнца. Количество тепла, получаемого поверхностью земли из своих недр в 5000 раз меньше энергии, получаемой от Солнца.

    В результате солнечной активности на Земле происходят различные геофизические явления, но однозначной связи, несмотря на проводимые исследования, между солнечной активностью и погодообразующими процессами на земле еще не установлено.

    Известно, что все процессы на Земле - геофизические, биологические, геологические обладают цикличностью. Периоды цикличности разнообразны - от тысячелетий до нескольких лет. Всеобщий характер таких явлений говорит о его фундаментальности.

Физические причины цикличности остаются слабоизученными до настоящего времени. Несмотря на многочисленные исследования в разных отраслях науки, бесспорных и конкретных причин цикличности еще не найдено.

    Наиболее распространенная версия о первопричинах цикличности состоит в цикличности солнечной активности, так как солнечная радиация является основным источником энергии всех процессов, протекающих в органической и неорганической природе, это и определяет действие других метеорологических факторов.

    Приход солнечной радиации на верхнюю границу атмосферы Земли является величиной относительно постоянной. Но приток радиации к определенным широтам и полушариям в тот или иной момент времени отличается значительно из-за колебаний элементов земной орбиты, изменения состава атмосферы и т.п.

    На основе вышеизложенного, можно сделать вывод, что происхождение природных процессов является вероятностным, а величины, описывающие данные процессы, стохастические.

    Таким образом, при определении риска, вызванного климатическими факторами, наиболее адекватным будет вероятностное описание природно-климатических условий.

    Основу обработки климатических данных составляет вероятностно-статистический метод. Климатологические ряды составляются из членов, которые являются или результатами непосредственных наблюдений, или обобщения наблюдений за отдельные интервалы времени конкретных лет. Считается, что наблюдаемый ряд является реализацией случайного процесса и отражает его характерные особенности. Суть обработки климатологических данных заключается в том, чтобы на основании имеющегося временного ряда получить основные вероятностные закономерности, характерные для всего процесса.

    Для получения исчерпывающей и точной информации о вероятностных характеристиках изучаемого процесса необходимо иметь бесконечно большое число результатов наблюдений. Такое гипотетическое множество принято называть генеральной совокупностью. На практике же имеется лишь ограниченное число наблюдений. Ряд однородных наблюдений называется выборкой. Выборка должна отражать свойства генеральной совокупности с приемлемой точностью.

    Важным этапом обработки рядов метеорологических данных является получение распределения повторяемостей значений метеорологических величин [Дроздов О.А. и др. 1989].

    В случае большого объема метеорологической информации можно произвести ее уплотнение. Для этого по результатам наблюдений определяют максимальное и минимальное значения временного ряда. Затем весь диапазон разбивается на некоторое количество интервалов и подсчитывается число наблюдений nk, попавших в интервал xk. По значениям nk получают относительные частоты значений в интервале по формуле:

(8)

где:

N - общее число наблюдений

К - число градаций

    В некоторых случаях для характеристики распределения вычисляют относительную плотность попадания метеорологических величин в каждый интервал:

(9)

 
    Например, имеется ряд наблюдений за случайной метеорологической величиной х:
 

Номер наблюд. (N)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Значение(х)	5	6	8	6	7	4	9	3	5	2	10	11	4	6	12	7	8	7

 
    Разбиваем диапазон на несколько интервалов:
 

Интервал	2£ х<4	4£ х<6	6£ х<8	8£ х<10	10£ х<12	х³ 12
Число попаданий(nk)	2	4	6	3	2	1
Частота значения (pk)	0.111	0.222	0.333	0.167	0.111	0.056
Плотность попадания (vk)	0,0555	0,111	0,1665	0,0835	0,0555	0,028

 
    Рассчитанные таким образом значения можно представить в виде ступенчатой кривой графически: по оси абсцисс откладывают интервалы xk и на каждом из них строят прямоугольник, высота которого равна vk. Полученная кривая называется гистограммой распределения какой-либо метеорологической величины (рис. 9).

Рис. 9 Пример гистограммы распределения

 
    Если число исходных данных, по которым строиться гистограмма, стремиться к бесконечности, то и данная кривая приближается к дифференциальной кривой распределения.

    Зная значения частот различных интервалов, можно определить эмпирическую функцию распределения. За эмпирическую функцию распределения принимается функция вида:

(10)

 
nx - число случаев, в которых случайная величина X оказывается меньше некоторого значения x. Поскольку при частота стремиться к истинным значениям вероятности, то и эмпирическая кривая также приближается к эмпирическому распределению (интегральной кривой распределения). F(x)=P(x£X) при  График F(x) представляет собой возрастающую ступенчатую кривую (рис. 10), ординаты которой рассчитываются по формуле:

(11)

 
К - число градаций
xi и xi+1 - крайние значения метеовеличин в градации.
Значения интегральной вероятности изменяются в пределах 0£Р£1.
 

Рис. 10 Пример функции распределения

 
    Во многих случаях возникает необходимость аппроксимации полученных данных подходящим аналитическим выражением. Эта операция называется выравниванием статистических данных. Распределение многих метеорологических величин могут быть аппроксимированы нормальным законом. По Е.С. Вентцель "Нормальный закон распределения играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это - наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях".

    Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

(12)

 
где:
m - математическое ожидание величины X
 - среднеквадратическое отклонение величины Х.

    Кривая распределения нормального закона имеет симметричный холмообразный вид.

    Таким образом, при помощи нормального закона можно выполнить выравнивание статистических данных. Для этого необходимо по данным наблюдений вычислить m и  и подставить их в формулу. Далее придавая величине х в формуле различные значения из интервала определения можно оценить плотность вероятности того или иного значения.

    Для определения вероятности попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону, в определенный интервал необходимо найти функцию распределения этой величины.
Для плотности распределения величины Х

(13)

 
функция распределения имеет вид:

(14)

 
и называется нормальной функцией распределения.
где:
t=(x-m)/
    Для данной функции составлены таблицы значений (Приложение 5).

    Следует отметить, что для нормального распределения случайной величины все рассеивание укладывается на участке m±3

    На практике нередко необходимо решать задачу, когда имеются математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины (в нашем случае продуктивных влагозапасов и температур почвы) и при помощи формулы (14), задаваясь текущими значениями фактора - i, строится функция распределения указанной величины.
 
Пример расчета
 
    В работе необходимо построить интегральную кривую распределения вероятностей продуктивных влагозапасов и интегральную кривую распределения вероятностей температур.

    В качестве исходных данных используются средневегетационные значения запасов продуктивной влаги и температур почвы, а также их среднеквадратические отклонения: t, С.К.О. t, W, С.К.О. W (таблица 1 приложение 4). Пример таблицы 1 приложения 4 был показан выше на рис. 4. Порядок построения кривых для продуктивных влагозапасов и температур одинаковый.

    В качестве примера разберем построение интегральной кривой распределения продуктивных влагозапасов. Данная процедура, для текущих условий среды, выполняется в таблице 2.1.1 приложения 4. Пример таблицы 2.1.1. приложения 4. показан на рис. 11.

    Необходимые исходные данные для расчетов, помимо таблицы 1 приложения 4, приводятся во вспомогательной таблице 2.1.1.1 приложения 4 (рис. 11).

Рис. 11. Пример таблицы 2.1.1 приложения 4

 
Порядок проведения расчетов без использования возможностей программы Excel: В столбце 1 таблицы 2.1.1 приложения 4 задаемся значениями текущих влагозапасов от 0 до максимального значения = Wср+3w , где: Wср - математическое ожидание продуктивных влагозапасов (таблица 1 приложения 4). В разбираемом варианте Wср=160,923 мм., w - среднеквадратическое отклонение продуктивных влагозапасов (таблица 1 приложения 4) В разбираемом варианте w= 26,346 мм.

    Чем больше значений находятся между минимальным и максимальным, тем точнее проводятся расчеты.

    При ручном счете значения влагозапасов можно задавать через 10 мм.
    В программе расчета текущие значения не ограничены максимальным значением для текущих исходных данных, а построены с максимально широким диапазоном (крайнее значение - 460 мм). Такой широкий диапазон данных сделан для того, чтобы они охватывали любые реально возможные значения условий среды, встречающиеся на территории России, а также что бы можно было построить зависимость продуктивности от этих условий среды для практически всех существующих культур.

Далее для каждой клеточки столбца 1 рассчитывается параметр X=(Wi- Wср)/w, где: Wi - текущее значение продуктивных влагозапасов (столбец 1 таблицы 2.1.1 приложения 4),
    По значению параметра Х по таблице значений нормальной функции распределения (приложение 5) находится соответствующая ему координата интегральной кривой распределения. Полученное значение вероятности заносится в соответствующую клеточку столбца 3 таблицы 2.1.1 приложения 4.

    Пример приложения 5 показан на рис. 12.

Рис. 12. Пример приложения 5

 
    При проведении расчетов с использованием возможностей программы Excel пункт 1 остается без изменений. Затем, в столбце 3, для соответствующей клеточки задается функция "НОРМРАСП" (нормальное распределение). В качестве исходных данных используются Wср, Wi, w .

    По результатам расчетов интегральной кривой распределения продуктивных влагозапасов на основе столбцов 1 и 3 таблицы 2.1.1 приложения 4 на рисунке 2.2 приложения 4 строится ее график. Пример графика показан на рис. 13.

Рис. 13. Пример графика интегральной кривой распределения продуктивных влагозапасов.

 
    Расчет интегральной кривой распределения температуры проводится в таблице 3.1.1 приложения 4. Порядок расчета аналогичен расчету по водному фактору.
    В столбце 1 таблицы 3.1.1 приложения 4 задаемся значениями текущих температур (ti ) от 0 до максимального значения = tср+3t , где:

tср - математическое ожидание температуры (таблица 1 приложения 4). В разбираемом варианте tср =13,577 град.

t - среднеквадратическое отклонение температуры (таблица 1 приложения 4) В разбираемом варианте t= 2,227 град.

    В программе расчета текущие значения не ограничены максимальным значением для текущих исходных данных, а построены с максимально широким диапазоном (крайнее значение - 45 градусов). Такой широкий диапазон данных сделан для того, чтобы они охватывали любые реально возможные значения условий среды, встречающиеся на территории России, а также что бы можно было построить зависимость продуктивности от этих условий среды для практически всех существующих культур.

    При ручном счете значения температур можно задавать через 0.5 - 1 градус.
    Далее, на основе вышеуказанных методов, находится вероятность каждого значения ti.
    По результатом расчета интегральной кривой распределения температуры строится рисунок 3.2 приложения 4. (Приложение 4/ Программа/Таблицы и рисунки/Лист - графики St Pt)